東大生が爆速で｢4桁の素因数分解｣解くカラクリ

数学の問題

こんな「4桁の素因数分解」でも、東大生なら暗算で即座に解いてしまうといいます

「算数から勉強をやり直して、どうにか東大に入れた今になって感じるのは、『こんなに世界が違って見えるようになる勉強はほかにない』ということです」

そう語るのが、2浪、偏差値35から奇跡の東大合格を果たした西岡壱誠氏。東大受験を決めたとき「小学校の算数」からやり直したという西岡氏は、こう語ります。

「算数の考え方は、『思考の武器』として、その後の人生でも使えるものです。算数や数学の問題で使えるだけでなく、あらゆる勉強に、仕事に、人生に、大きくつながるものなのです」

そんな「思考の武器」を解説した43万部突破シリーズの最新刊、『「数字のセンス」と「地頭力」がいっきに身につく東大算数』が刊行され、発売すぐに3刷と好評を博しています。

ここでは、東大生が「素因数分解」をはじめとした計算が「異様に速い」理由を解説してもらいます。

小学生でも解ける「大学入試」の数学問題

大学入学試験において偏差値上、日本のトップの大学が東京大学です。その入試をクリアしている東大の学生は、やはり本当に頭がいいです。

「数字のセンス」と「地頭力」がいっきに身につく東大算数: 「数字のセンス」と「地頭力」がいっきに身につく

今日放送するテレビ番組・フジテレビ「さんまの東大方程式」では、毎回すごいスピードでフラッシュ暗算をする人や、素因数分解を軽々と解く人など、とんでもなく頭のいい人がたくさん登場しています。

今回の放送でも、計算力がすごい人が登場するわけですが、どうして東大生は、すごいスピードで計算ができるのでしょうか？　今回はその思考回路をみなさんに紹介したいと思います。

まずそもそも、素因数分解とは、1つの数を素数の掛け算に分解することです。例えば12は「2×2×3」で、60は「2×2×3×5」ですね。こんなふうに、数を素数に分解する計算です。

729というのは、「3×3×3×3×3×3」と分解できます。97というのは分解ができず、「1×97」が最小の掛け算になります。

このように、1つの数を素数に分解するのが、素因数分解です。

東大生は、この計算が非常に得意です。たとえば、こちらの問題を見てください。

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この問題であれば、東大生は紙とペンを使わなくても答えることができます。

まず、2697は、あと＋3したら、2700になりますよね。言わずもがな、2700は「27×100」です。27は「3×3×3」ですから、2700は「3×3×3×100」になります。そこから3少ない数字が2697なわけですから、「2697＝3×3×3×100－3」になりますね。

これを整理すると、こんな式が出てきます。

頻出の公式でもっと分解できる

さて、実は最後に出てきた「900－1」という式は、とある公式を使うことでうまく掛け算の形に持っていくことができます。これは、因数分解をする人にはすごくポピュラーな、「2乗－2乗」の形なのです。

900は「30×30」であり、同じ数の2乗です。1も、1は2乗しても1ですから、「900－1」は「30の2乗－1の2乗」なのです。

「だからどうした？」と思うかもしれませんが、実はこの式は、こんな変形ができるのです。

これは有名な式で、これを使うと非常に楽にいろんな計算を掛け算に直すことができます。

この式を使って考えてみると、「900－1」はこう変形できます。

「900－1」＝「31×29」にできるわけですね。これより、「2697＝3×31×29」となるわけです。

ということで、2697の素因数分解ができるようになるためには、「2700－3と気づく」「そこから変形して、『900－1』が『30の2乗－1の2乗』の形だと気づく」「『30の2乗－1の2乗』の形からの変形で、31×29となることを見抜く」ということが必要だとわかります。

「工夫」は、トレーニングで「暗記」に変わる

その上で、何度か計算を繰り返していると、数自体を覚えてしまうようになります。

たとえば「899」＝「31×29」というのは、もう覚えてしまっているという人も多いです。何度も計算をしているうちに覚えてしまって、だからこそすぐに素因数分解ができるわけです。

さて、ここからご理解いただきたいのは、東大生が計算を速くできるのは、別に魔法を使っているわけでも、生まれつき天才だからでもないということです。

ちゃんとロジックがある上で、何度も経験しているからできるようになっている、ということなのです。

僕は今、小学生に分数の約分を教えています。「3/15は、分母も分子も3で割れるよね。だから、3÷3と15÷3をして、3/15＝1/5なんだよ」と教えたところ、「なんで15が3で割れるってすぐにわかるんですか？　たしかに言われてみれば3×5＝15だっていうのは知っていますけど、これってすごく時間がかかりませんか？」と言われました。

また同じように、「11/77 は、両方とも11で割れるから、1/7なんだよ」と言っても、「九九はちゃんと覚えたけど、77が11で割れるって習ってない！　難しい！」とも言われました。

確かに、僕たちは感覚的に「15は3の倍数だ」「77は11の倍数だ」とわかっていますが、これは別に誰かに習って理解したわけでも、ロジックで理解しているわけでもなく、感覚的に覚えてしまっています。その上で、言われてみると確かに、約分ってかなり高度なことをしていますよね。ロジックで考えるとかなり難しいです。

それでも、多くの人は何度も何度も経験するうちに、「3/15＝1/5」も「11/77＝1/7」もできるようになったのではないでしょうか。

もちろんロジックとして「同じ数字が2桁続いている数は、11で割ることができる」とか「3×5＝15だから15は3の倍数だ」とか「70＋7＝77だから77は7の倍数だ」とか、理解してはいると思いますが、理解しているからわかるわけではなく、なんとなくもう慣れて、覚えてしまっているんだと思います。